Mi Libro Calculo Vectorial. Marcos Sanchez. A short summary of this paper. Download Download PDF. Malakhaltsev J. Arteaga B. Operaciones entre funciones vectoriales. Aplicaciones de la integral doble. Contenido general xv Acerca de los autores Mikhail Malakhaltsev Ph. Dictaba varios cursos de servicio y electivas en las universidades de Kazan y de los Andes.
El punto O se llama polo y el rayo OA el eje polar, fig. Ejemplo 1. Ejemplos 1. Algunas veces es conveniente tomar el radio polar igual a cero. Reemplazando estas ecuaciones en 1. Se tiene que, por las ecuciones 1. Nota 1. Nota S 1. Graficar en el primer octante v. Luego verificar que los 0. Ahora el producto vectorial es: 0.
Como punto inicial P, tomamos el punto A. Catenoide Ejemplo 1. Cono 1. Observemos 4 9 que no aparece la variable z, precisamente es el eje paralelo a la recta genera- triz, fig. Observemos que no aparece la variable x, precisamente es el eje paralelo a la recta generatriz.
Ejercicio 1. El sistema cartesiano. Decida si se intersectan o no. Identifique el par de planos que son perpendiculares. Ejemplo 2. S Ejemplo 2. Nota 2. En el ejemplo 2. Los extremos del intervalo I2 se encuentran evaluando los extremos del intervalo I1 en 2. Teorema 2. Por ejemplo en la figura 2. Una recta tiene curvatura cero en todos sus puntos. Encuentre la curvatura de la circunferencia de radio R. Encuentre la curvatura de una recta.
Ejercicio 2. S S Ejercicio 2. Encuentre el dominio de continuidad. S Ejercicio 2. Demuestre el teorema 2. Ayuda: Use regla de la cadena. S S S S Ejercicio 2. S S S Ejercicio 2. Si la pelota ate- rriza a 98 m de distancia del lugar de lanzamiento. Encuentre el alcance del proyectil. Ejemplo 3. Las figuras 3. Figura 3. La derivada parcial de f respecto a xi en el punto a1,. Hallaremos estas derivadas parciales de dos formas diferentes. Ejercicio 3. En la tabla 3. En la figura 3. La figura 3.
Conteste falso o verdadero. Ejemplo 4. Teorema 4. Por lo tanto, f es derivable en todos los puntos x, y de su dominio. Por lo tanto f no es diferenciable en 0, 0. Nota 4. En el ejemplo 4. Usando la regla de la cadena tenemos que.
Tomamos la derivada de la igualdad 4. Esto justifica el nombre derivada direccional. Calculemos la derivada direccional de f x, y en el punto A respecto al vector u.
Usamos la formula 4. De manera similar la pendiente de menor valor se obtiene en el sentido opuesto del gradiente en ese punto. Supongamos que la curva de nivel v. En la figura 4. Podemos obser- var que el vector gradiente intersecta ortogonalmente las curvas de nivel. Ejercicio 4. Luego hallar todas las derivadas parciales del primero y segundo orden en el punto 1, 1.
S S S S z Ejercicio 4. En el dibujo anterior dibuje el vector S punto 1, 1. En el dibujo anterior dibuje el vector en el punto 1, 1. En el dibujo anterior 1 1 1 2 Hallar DSu f 1, 1, 2 , donde S , w3 w3 w3 dibuje el vector Su en el punto 1, 1, 2. En el dibujo anterior 1 1 1 3 Hallar DSu f 1, 1, 2 , donde S ,— , w 3 w3 w 3 dibuje el vector S u en el punto 1, 1, 2. Dibuje el vector gradiente en el punto 2, 1 Ejercicio 4.
Dibujar la superficie y sobre ella la ruta que quiere el alpinista. Figura 4. La temperatura en un punto x, y es T x, y , medida en grados Celsius. La longitud l, ancho w y altura h de una caja cambian con el tiempo. La temperatura T en un punto de una bola de metal es inversamente proporcional a la distancia del punto al centro de la bola, el cual se considera como el origen. Ejemplo 5. Teorema 5.
S Ejemplo 5. Por el teorema 5. Nota 5. El teorema 5. Puede haber un extremo local, un punto de silla o ninguno de los anteriores. Por el teorema de Clairaut las segundas derivadas parciales cruzadas son iguales.
Entonces, el punto 0, 0, 0 no es un extremo local. El hecho es que el punto a 2 es un punto S de silla multidimensional. Es decir tomaremos un subconjunto A de D y encontraremos los extremos de f en A. Sean g1,. El sistema 5. Debemos resolver este sistema no lineal. Un rayo de luz atraviesa con rapidez constante n1 un medio uniforme M1 y con rapidez constante n2 otro medio M2.
Se puede pensar que los medios son aire y agua. Si el rayo atraviesa el aire y luego entra al agua, el rayo es refractado como muestra la figura 5. Se quiere encerrar un terreno de forma rectangular con uno de sus lados sobre una carretera recta con una cuerda de m de largo.
Cuerda y x Carretera Figura 5. Supongamos ahora que la cuerda mide m. Ejercicio 5. Encuentre los valores extremos locales de f en su dominio. Encuentre los valores extremos de f en D. Nota: Debe considerar dos casos en el interior y en el borde del disco D. Nota 6. Podemos usar esta suma para hallar el valor aproximado de la integral doble. Ejemplo 6. Teorema 6. Las integrales iteradas nos brindan la herramienta principal para resolver las integrales dobles, por el siguiente teorema.
Aplicaciones de la integral doble Veamos algunos ejemplos de aplicaciones de la integral doble. Ejercicio 6. Calcule la integral doble f x, y dA. R Ejercicio 6. Calcule la suma de Riemann usando las esquinas inferiores izquierdas. Se divide R en cuatro cuadrados iguales y se usa la regla del punto medio. Una piscina de 30 pies por 20 pies se llena con agua. Comparar Ie con Ia.
Calcule la integral. Ejemplo 7. Tipo I. Tipo III. Diremos que D es de tipo iii si D es a la vez de tipo i y de tipo ii. Ejercicio resuelto. Hallar el valor de la integral doble iterada, 1 2 sen x 2 dxdy.
Teorema 7. D D Producto: el producto f g es integrable en D. D Promedio. A D Masa. D Primeros momentos. D D Centro de masa. M M Momentos de inercia. Nota 7. El punto x0, y0 en el tvm, teorema 7. Calcular el valor de la integral doble y2 dA 7. En el caso en que no sea constante por el teorema del valor medio 7. Usando el teore- ma 7. Ejercicio 7. Halle el centro de masa de una placa plana en forma de semianillo superior entre las dos circunferencias centradas en el origen de radios 1 y 2.
Resuelva esta integral. No es necesario hacer la integral. Calcule la integral doble. Calcule las siguientes integrales. Use coordenadas polares, si lo estima necesario. Calcule el volumen de la piscina. Es decir, al abrir el hueco el eje de la broca pasa por el centro de la esfera. A short summary of this paper. La palabra vectores se refiere a los elementos de cualquier Rn.
A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo. Si la magnitud es vectorial hablamos de un campo vectorial.
S uma de v ec tor es Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes. Resta de vectores 5 ING. Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.
Del mismo sentido que el vector si k es positivo. De sentido contrario del vector si k es negativo. Igualdad Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, los mismos componentes. Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.
Componentes de un vector en el espacio Si las coordenadas de A y B son: Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen. Cuando se quiere hallar un vector que es perpendicular a otros dos al mismo tiempo, un modo muy sencillo de hacerlo utiliza el producto vectorial.
Rectas en el espacio Consideremos la recta que pasa por y por Q. Esta recta es paralela al vector , por lo tanto, dado un punto , se debe cumplir que De donde:. En este caso , luego 19 ING. La recta secante de una curva es la que une dos puntos de la curva separados una distancia finita. Circunferencia Sea la circunferencia de centro en O y radio a. En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX.
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